Як знайти площу багатокутника?

Згідно з визначенням, многоугольником називається плоска фігура, утворена трьома і більше пересічними прямими, що утворюють відповідну кількість точок перетину. Точки перетину прямих називають також вершинами багатокутника, а відрізки прямих - його сторонами. Багатокутник часто називають за кількістю сторін його вершин чотирьох-, п`яти-, шести-, семикутник і так далее.Согласно визначенням, многоугольником називається плоска фігура, утворена трьома і більше пересічними прямими, що утворюють відповідну кількість точок перетину. Точки перетину прямих називають також сторонами багатокутника, а відрізки прямих - його сторонами. Багатокутник часто називають за кількістю сторін його вершин чотирьох-, п`яти-, шести-, семикутник і так далі.

Ще однією важливою характеристикою багатокутників є те, що суміжні його відрізки не лежать в одній прямий, а несуміжні - не мають спільних точок. Дане визначення простіше зрозуміти поглянувши на малюнок.

У ньому шестикутник зліва є багатокутником, так його несуміжні відрізки не перетинаються. Фігура, зображена праворуч не є багатокутником, так як несуміжні відрізки AD і EC, а також DB і EC мають спільну точку.

Дві вершини багатокутника, що належать одній стороні, називають сусідніми. Відрізок, що з`єднує будь-які дві несоседних вершини, називають діагоналлю багатокутника.

Площею багатокутника буде називатися внутрішня частина площині, утворена розділяють її відрізками багатокутника.

Варіантів багатокутників може бути безліч, що виключає знаходження універсального рішення задачі знаходження їх площі.

Тому, розглянемо деякі окремі випадки того, як знайти площу багатокутника різними способами.

Одним з окремих випадків є правильний багатокутник - фігура, у якої всі сторони і кути між ними рівні. У цьому випадку площа багатокутника може бути знайдена, якщо відомий радіус вписаного в нього, або описаного кола згідно з наступною формулою:

S = P r

де P - периметр багатокутника, який визначається як добуток кількості його сторін на їх дліну-
r - радіус вписаного в багатокутник кола.
Цікава властивість багатокутників було виявлено австрійським математиком Георгом Піком. Він виявив, що багатокутник вершини якого розташовуються у вузлах квадратної сітки можуть бути знайдені за формулою:

S = N + M / 2 -1

де S - площа многоугольніка-
N - кількість вузлів сітки, розташованих усередині многоугольніка-
M - кількість вузлів сітки, що потрапляють на сторони багатокутника і на його вершини.

На представленому зображенні вузли сітки на кордоні багатокутника позначені синіми крапками, а вузли всередині фігури - червоним. Відповідно до формули піку площа даної фігури складе 95 + 13/2 - 1 = 100,5 квадратних едініц.Теорема Піка цікава і красива, але практично не знаходить застосування в умовах реальних завдань.
Набагато частіше на практиці для знаходження площі багатокутника застосовують його поділ на більш прості складові фігури - прямокутники, трикутники, трапеції, паралелограми, знаходження площі яких добре відомо. Завдання, як знайти площу багатокутника в даному випадку зводиться до визначення площі складових його простих фігур.